Forma canônica de Jordan
A forma canônica de Jordan de um operador linear Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T: V \to V} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim {V} = n < \infty} , é uma matriz formada por blocos de Jordan de seus autovalores na sua diagonal. A forma canônica é bastante útil por permitir que se extraia informações sobre a transformação com facilidade, reconhecer se duas transformações são similares e tornar bastante simples a exponenciação da transformação.
Índice
Blocos de Jordan
Um bloco de Jordan Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_k (\lambda)} é uma matriz triangular superior da forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_k (\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 &0 &\cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 &\lambda \end{pmatrix} = \begin{cases} J_i,i = \lambda \\ J_{i,i+1} = 1 \\ J_i,l = 0, \mbox{ se } l \ne i \mbox{ e } l \ne i+1 \end{cases} }
Note que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} é o único autovalor, tem multiplicidade algébrica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ma(\lambda)=k} e multiplicidade geométrica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mg(\lambda)=1} .
Exemplos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_3 (2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad J_1 (4) = \begin{pmatrix} 4\end{pmatrix} \quad J_2 (0) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
Forma canônica de Jordan
Uma matriz C está na forma canônica de Jordan se, e somente se, está nesta forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C = \begin{pmatrix} J_{N_1} (\lambda_1) & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & J_{N_2} (\lambda_2) &\ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J_{N_k} (\lambda_k) \end{pmatrix} }
Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_i} pode ser igual a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_j} e a ordem dos blocos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{N_i}(\lambda_i)} é indiferente.
Exemplos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{9x9} = \begin{pmatrix} J_2 (3) & 0 & 0 & 0\\ 0 & J_1 (3) & 0 & 0\\ 0 & 0 & J_3 (2) & 0\\ 0 & 0 & 0 & J_3 (1) \end{pmatrix} }
(4 blocos de Jordan)
ma (3) = 2+1 = 3; mg (3) = 2
ma (2) = 3; mg (2) = 1
ma (1) = 3; mg (1) = 1
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{4x4} = \begin{pmatrix} 10 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 10 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 10 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} }
(3 blocos de Jordan)
ma (10) = 2+1 = 3; mg (10) = 2
ma (5) = 1; mg (5) = 1
Teoremas
Proposição
Duas matrizes são similares se, e somente se, os blocos de Jordan de suas formas de Jordan são os mesmos.
Teorema
Toda matriz é similar a uma matriz na forma de Jordan.
Construção da forma de Jordan de uma matriz
Para se construir a forma de Jordan, é necessário conhecer a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um dos autovalores. No entanto, para matrizes de ordem maior que 3 isto pode não ser suficiente. Cada bloco de Jordan Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_k(\lambda)} contribui com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mg(\lambda) = 1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ma(\lambda)=k} .
Exemplo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} }
Determinação dos autovalores e sua multiplicidade algébrica
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle det (A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 3 - \lambda I & 0 & 1\\ 0 & 2 - \lambda I & 0\\ 1 & 0 & 3 - \lambda I \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2(\lambda - 4) }
Logo, ma(2)=2 e ma(4)=1.
Multiplicidade geométrica
Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \le mg(\lambda)\le ma(\lambda)} , temos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mg(2) = 1 \mbox{ ou } 2 \mbox{ e } mg(4) = 1}
Calculado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mg(2) = \dim{S_2}}
:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ax = 2x \implies \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1\\ 2x_2\\ 2x_3 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} 3x_1+x_3=2x_1\\ 2x_2=2x_2\\ x_1+3x_3=2x_3 \end{cases} \iff x_1=-x_3 }
ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2 = Span \lbrace(1,0,-1),(0,1,0)\rbrace \mbox{ e } \dim {S_2} = mg(2) = 2}
Forma de Jordan
Finalmente, como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=2 } tem mg = 2, teremos dois blocos unitários de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=2 } . E mais um bloco unitário de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=4 } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
