Mudanças entre as edições de "Forma canônica de Jordan"

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m (→‎Construção da forma de Jordan de uma matriz)
 
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A '''forma canônica de Jordan''' de um operador linear <math>T: V \to V</math>, <math>\dim {V} = n < \infty</math>, é uma matriz formada por blocos de Jordan na sua diagonal. A forma canônica é bastante útil por permitir que se extraia informações sobre a transformação com facilidade, permitir reconhecer se duas transformações são similares e tornar bastante simples a exponenciação da transformação.
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A '''forma canônica de Jordan''' de um operador linear <math>T: V \to V</math>, <math>\dim {V} = n < \infty</math>, é uma matriz formada por blocos de Jordan de seus autovalores na sua diagonal. A forma canônica é bastante útil por permitir que se extraia informações sobre a transformação com facilidade, reconhecer se duas transformações são similares e tornar bastante simples a exponenciação da transformação.
  
 
== Blocos de Jordan ==
 
== Blocos de Jordan ==
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\begin{cases}
 
\begin{cases}
 
J_i,i = \lambda \\
 
J_i,i = \lambda \\
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J_i,i+1 = 1 \\
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J_{i,i+1} = 1 \\
 
J_i,l = 0, \mbox{ se } l \ne i \mbox{ e } l \ne i+1
 
J_i,l = 0, \mbox{ se } l \ne i \mbox{ e } l \ne i+1
 
\end{cases}
 
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Note que \lambda é o único autovalor, e tem multiplicidade algébrica k e multiplicidade geométrica 1.
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Note que <math>\lambda</math> é o único autovalor, tem multiplicidade algébrica <math>ma(\lambda)=k</math> e multiplicidade geométrica <math>mg(\lambda)=1</math>.
  
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Exemplos:
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=== Exemplos ===
  
 
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Onde <math>\lambda_i</math> pode ser igual a <math>\lambda_j</math>. A ordem dos <math>\lambda_i</math> é indiferente.
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Onde <math>\lambda_i</math> pode ser igual a <math>\lambda_j</math> e a ordem dos blocos <math>J_{N_i}(\lambda_i)</math> é indiferente.
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=== Exemplos ===
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<math>
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A_{9x9} =
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J_2 (3) & 0 & 0 & 0\\
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0 & J_1 (3) & 0 & 0\\
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0 & 0 & J_3 (2) & 0\\
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0 & 0 & 0 & J_3 (1)
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\end{pmatrix}
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</math>
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(4 blocos de Jordan)
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ma (3) = 2+1 = 3; mg (3) = 2
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ma (2) = 3; mg (2) = 1
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ma (1) = 3; mg (1) = 1
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A_{4x4} =
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\begin{pmatrix}
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10 & 1 & 0 & 0\\
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0 & 10 & 0 & 0\\
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0 & 0 & 10 & 0\\
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0 & 0 & 0 & 5
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\end{pmatrix}
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(3 blocos de Jordan)
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ma (10) = 2+1 = 3; mg (10) = 2
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ma (5) = 1; mg (5) = 1
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== Teoremas ==
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=== Proposição ===
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''Duas matrizes são similares se, e somente se, os blocos de Jordan de suas formas de Jordan são os mesmos.''
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=== Teorema ===
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''Toda matriz é similar a uma matriz na forma de Jordan.''
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== Construção da forma de Jordan de uma matriz ==
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Para se construir a forma de Jordan, é necessário conhecer a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um dos autovalores. No entanto, para matrizes de ordem maior que 3 isto pode não ser suficiente. Cada bloco de Jordan <math>J_k(\lambda)</math> contribui com <math>mg(\lambda) = 1</math> e <math>ma(\lambda)=k</math>.
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=== Exemplo ===
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<math>
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A =
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\begin{pmatrix}
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3 & 0 & 1\\
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0 & 2 & 0\\
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1 & 0 & 3
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\end{pmatrix}
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</math>
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==== Determinação dos autovalores e sua multiplicidade algébrica ====
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<math>
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det (A-\lambda I) =
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\begin{vmatrix}
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3 - \lambda I & 0 & 1\\
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0 & 2 - \lambda I & 0\\
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1 & 0 & 3 - \lambda I
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\end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2(\lambda - 4)
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</math>
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Logo, ma(2)=2 e ma(4)=1.
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==== Multiplicidade geométrica ====
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Como <math>1 \le mg(\lambda)\le ma(\lambda)</math>, temos:
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<math>mg(2) = 1 \mbox{ ou } 2 \mbox{ e } mg(4) = 1</math>
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Calculado <math>mg(2) = \dim{S_2}</math>:
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<math>
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Ax = 2x \implies
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\begin{pmatrix}
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3 & 0 & 1\\
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0 & 2 & 0\\
 +
1 & 0 & 3
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\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
 +
x_1\\
 +
x_2\\
 +
x_3
 +
\end{pmatrix}
 +
=
 +
\begin{pmatrix}
 +
2x_1\\
 +
2x_2\\
 +
2x_3
 +
\end{pmatrix}
 +
\iff
 +
 
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\begin{cases}
 +
3x_1+x_3=2x_1\\
 +
2x_2=2x_2\\
 +
x_1+3x_3=2x_3
 +
\end{cases}
 +
\iff
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x_1=-x_3
 +
</math>
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ou seja, <math>S_2 = Span \lbrace(1,0,-1),(0,1,0)\rbrace \mbox{ e } \dim {S_2} = mg(2) = 2</math>
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==== Forma de Jordan ====
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Finalmente, como <math> \lambda=2 </math> tem mg = 2, teremos dois blocos unitários de <math> \lambda=2 </math>. E mais um bloco unitário de <math> \lambda=4 </math>:
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<math>
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J_A =
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\begin{pmatrix}
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2 & 0 & 0\\
 +
0 & 2 & 0\\
 +
0 & 0 & 4
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\end{pmatrix}
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</math>
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== Links ==
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 +
* [http://mathworld.wolfram.com/JordanCanonicalForm.html Forma canônica de Jordan no MathWorld.]
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_form Forma canônica de Jordan na Wikipedia]
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== Ver também ==
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* [[Matemática III]]
 
[[Categoria: Matemática]]
 
[[Categoria: Matemática]]

Edição atual tal como às 21h25min de 27 de setembro de 2006

A forma canônica de Jordan de um operador linear Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T: V \to V} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim {V} = n < \infty} , é uma matriz formada por blocos de Jordan de seus autovalores na sua diagonal. A forma canônica é bastante útil por permitir que se extraia informações sobre a transformação com facilidade, reconhecer se duas transformações são similares e tornar bastante simples a exponenciação da transformação.

Blocos de Jordan

Um bloco de Jordan Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_k (\lambda)} é uma matriz triangular superior da forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_k (\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 &0 &\cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 &\lambda \end{pmatrix} = \begin{cases} J_i,i = \lambda \\ J_{i,i+1} = 1 \\ J_i,l = 0, \mbox{ se } l \ne i \mbox{ e } l \ne i+1 \end{cases} }

Note que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} é o único autovalor, tem multiplicidade algébrica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ma(\lambda)=k} e multiplicidade geométrica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mg(\lambda)=1} .

Exemplos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_3 (2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad J_1 (4) = \begin{pmatrix} 4\end{pmatrix} \quad J_2 (0) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} }

Forma canônica de Jordan

Uma matriz C está na forma canônica de Jordan se, e somente se, está nesta forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C = \begin{pmatrix} J_{N_1} (\lambda_1) & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & J_{N_2} (\lambda_2) &\ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J_{N_k} (\lambda_k) \end{pmatrix} }

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_i} pode ser igual a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_j} e a ordem dos blocos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{N_i}(\lambda_i)} é indiferente.

Exemplos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{9x9} = \begin{pmatrix} J_2 (3) & 0 & 0 & 0\\ 0 & J_1 (3) & 0 & 0\\ 0 & 0 & J_3 (2) & 0\\ 0 & 0 & 0 & J_3 (1) \end{pmatrix} }

(4 blocos de Jordan)

ma (3) = 2+1 = 3; mg (3) = 2

ma (2) = 3; mg (2) = 1

ma (1) = 3; mg (1) = 1


Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{4x4} = \begin{pmatrix} 10 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 10 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 10 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} }

(3 blocos de Jordan)

ma (10) = 2+1 = 3; mg (10) = 2

ma (5) = 1; mg (5) = 1

Teoremas

Proposição

Duas matrizes são similares se, e somente se, os blocos de Jordan de suas formas de Jordan são os mesmos.

Teorema

Toda matriz é similar a uma matriz na forma de Jordan.

Construção da forma de Jordan de uma matriz

Para se construir a forma de Jordan, é necessário conhecer a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um dos autovalores. No entanto, para matrizes de ordem maior que 3 isto pode não ser suficiente. Cada bloco de Jordan Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_k(\lambda)} contribui com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mg(\lambda) = 1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ma(\lambda)=k} .

Exemplo

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} }

Determinação dos autovalores e sua multiplicidade algébrica

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle det (A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 3 - \lambda I & 0 & 1\\ 0 & 2 - \lambda I & 0\\ 1 & 0 & 3 - \lambda I \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2(\lambda - 4) }

Logo, ma(2)=2 e ma(4)=1.

Multiplicidade geométrica

Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \le mg(\lambda)\le ma(\lambda)} , temos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mg(2) = 1 \mbox{ ou } 2 \mbox{ e } mg(4) = 1}


Calculado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mg(2) = \dim{S_2}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ax = 2x \implies \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1\\ 2x_2\\ 2x_3 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} 3x_1+x_3=2x_1\\ 2x_2=2x_2\\ x_1+3x_3=2x_3 \end{cases} \iff x_1=-x_3 }


ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2 = Span \lbrace(1,0,-1),(0,1,0)\rbrace \mbox{ e } \dim {S_2} = mg(2) = 2}

Forma de Jordan

Finalmente, como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=2 } tem mg = 2, teremos dois blocos unitários de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=2 } . E mais um bloco unitário de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=4 } :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }

Links

Ver também

Disponível em "http://wiki.cecm.usp.br/wiki/index.php?title=Forma_canônica_de_Jordan&oldid=7614"