\documentclass[12pt]{article}
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%\newcommand{}
\newcommand{\pderiv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} % Parcial derivatives
\newcommand{\xyzijk}[2]{ #1 x #2 \vec i + #1 y #2 \vec j + #1 z #2 \vec k}

\title{Eletromagster
%\epsilon \lambda \epsilon \theta \rho \omega \mu \alpha \gamma \sigma \theta \epsilon \rho
}
\author{Turma 14\\ Prof. Dr. Henrique Fleming - IF - USP}
\date{outubro - 2005}
\begin{document}
\maketitle

\section{Cálculo Vetorial}

\begin{displaymath}
grad\, f(x,y,z) = \nabla f = \xyzijk{\pderiv{f}}{}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\mathbb{F}(x,y,z) = \nabla f = \xyzijk{f_}{(x,y,z)}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
div\, \mathbb{F} = \nabla \cdot \mathbb{F} = \pderiv{f_x}{x} + \pderiv{f_y}{y} + \pderiv{f_z}{z}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
rot\, \mathbb{F} = \nabla \times \mathbb{F} = \Bigg|
\begin{array}{ccc}
   \vec i    &    \vec j    &    \vec k    \\
\pderiv{}{x} & \pderiv{}{y} & \pderiv{}{z} \\
    f_x      &     f_y      &     f_z
\end{array} \Bigg|
= \vec i \left(\pderiv{f_z}{y} - \pderiv{f_y}{z}\right) + \vec j \left(\pderiv{f_x}{z} -
\pderiv{f_z}{x}\right) + \vec k \left(\pderiv{f_y}{x} -
\pderiv{f_x}{y}\right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
div\,(\lambda \mathbb{F}) = \lambda\, div\,\mathbb{F} + \mathbb{F} \cdot \nabla \lambda
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
rot\, (\nabla f) = 0
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
div\,(rot\,\mathbb{F}) = 0
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
rot\,(rot\,\mathbb{F}) = grad\,(div\,\mathbb{F}) - \nabla ^{2}\mathbb{F} =
\nabla(\nabla\cdot\mathbb{F}) - \nabla ^{2}\mathbb{F}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\Phi (x_{2}) - \Phi (x_{1}) = \int _{x_{1}} ^{x^{2}} \nabla \Phi \cdot d \vec s
\end{displaymath}

Teorema do Divergente:

\begin{displaymath}
\int _{S} \mathbb{F} \cdot \vec n\, ds = \int _{V} div\, \mathbb{F}\, dv \qquad \textrm{(V é
o volume interno de S)}
\end{displaymath}

Teorema de Stokes:

\begin{displaymath}
\oint _{\Gamma} \mathbb{C}\cdot d \vec r = \int _{S} \nabla \times
\mathbb{C}\cdot\vec n \, ds
\end{displaymath}

\section{Equações de Maxwell}

\begin{displaymath}
\mathbb{E}=-\nabla\phi
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\phi:\textrm{Potencial elétrico}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\mathbb{J}:\textrm{Vetor densidade de corrente}
\end{displaymath}
\\
\begin{displaymath}
div\,\mathbb{E}=4\pi\rho
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
rot\,\mathbb{E}=-\frac{1}{c}\pderiv{\mathbb{B}}{t}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
div\,\mathbb{B}=0
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
rot\,\mathbb{B}=\frac{1}{c}\pderiv{\mathbb{E}}{t} +
\frac{4\pi}{c}\mathbb{J}
\end{displaymath}

\subsection{Eletrostática}

\begin{displaymath}
div\,\mathbb{E}=4\pi\rho
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
rot\,\mathbb{E}=\vec 0
\end{displaymath}

\subsection{Magnetostática}

\begin{displaymath}
div\,\mathbb{B}=0
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
rot\,\mathbb{B}=\frac{4\pi}{c}\mathbb{J}
\end{displaymath}

\section{Alguns teoremas}

\begin{displaymath}
\nabla ^{2} \phi = 0 \Rightarrow \textrm{Existe um único }\phi
\textrm{ que satisfaz a equação}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\mathbb{F}=q(\mathbb{E}+\frac{\mathbb{V}}{c}\times\mathbb{B})
\end{displaymath}

Dentro de um condutor:
\begin{displaymath}
\phi = cte \qquad \mathbb{E}\perp \textrm{ superfície}
\end{displaymath}

Dipolo elétrico:
\begin{displaymath}
\phi = -\vec p\cdot\nabla\frac{1}{r}=\frac{\vec p \cdot \vec r}{r^{3}}
\qquad \vec p = q \cdot \vec d
\end{displaymath}

Teorema de Gauss:
\begin{displaymath}
\int _{S} \mathbb{E}\cdot\vec n\,ds = 4\pi Q_{interna}
\end{displaymath}

Energia de um campo determinado:
\begin{displaymath}
\epsilon = \int _{S} \mathbb{E}\cdot\mathbb{E}\,\frac{1}{8\pi}\,dv
\end{displaymath}

\end{document}
