Eletromagster

Turma 14 Prof. Dr. Henrique Fleming - IF - USP outubro - 2005

1 Cálculo Vetorial

grad f(x, y, z) = ∇f = \frac{∂f}{∂x}i⃗ + \frac{∂f}{∂y} j⃗ + \frac{∂f}{∂z} k⃗

𝔽(x, y, z) = ∇f = f_{x}(x, y, z)i⃗ + f_{y}(x, y, z)j⃗ + f_{z}(x, y, z)k⃗

div 𝔽 = ∇ · 𝔽 = \frac{∂f_{x}}{∂x} + \frac{∂f_{y}}{∂y} + \frac{∂f_{z}}{∂z}

rot 𝔽 = ∇×𝔽 = | \begin{matrix}i⃗ & j⃗ & k⃗ \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ f_{x} & f_{y} & f_{z} \end{matrix} | = i⃗ (\frac{∂f_{z}}{∂y} − \frac{∂f_{y}}{∂z} )+j⃗ (\frac{∂f_{x}}{∂z} − \frac{∂f_{z}}{∂x} )+k⃗ (\frac{∂f_{y}}{∂x} − \frac{∂f_{x}}{∂y} )

div (λ𝔽) = λ div 𝔽 + 𝔽 · ∇λ
rot (∇f) = 0
div (rot 𝔽) = 0

rot (rot 𝔽) = grad (div 𝔽) − ∇^{2}𝔽 = ∇(∇ · 𝔽) − ∇^{2}𝔽

Φ(x_{2}) − Φ(x_{1}) = ∫_{x_{1}}^{x^{2}} ∇Φ · ds⃗

Teorema do Divergente:

∫_{S} 𝔽 · n⃗ ds = ∫_{V} div 𝔽 dv (V é o volume interno de S) Teorema de Stokes:

∮_{Γ} ℂ · dr⃗ = ∫_{S} ∇ × ℂ · n⃗ ds

2 Equações de Maxwell

𝔼 = −∇ϕ ϕ : Potencial elétrico 𝕁 : Vetor densidade de corrente

div 𝔼 = 4πρ

rot 𝔼 = −\frac{1}{c} \frac{∂𝔹}{∂t}

div 𝔹 = 0

rot 𝔹 = \frac{1}{c} \frac{∂𝔼}{∂t} + \frac{4π}{c} 𝕁

2.1 Eletrostática

div 𝔼 = 4πρ
rot 𝔼 = 0

2.2 Magnetostática

div 𝔹 = 0

rot 𝔹 = \frac{4π}{c} 𝕁

3 Alguns teoremas

∇^{2}ϕ = 0 ⇒ Existe um único ϕ que satisfaz a equação

𝔽 = q(𝔼 + \frac{𝕍}{c} × 𝔹)

Dentro de um condutor:

ϕ = cte 𝔼 ⊥ superfície

Dipolo elétrico:

ϕ = −p⃗ · ∇\frac{1}{r} = \frac{p⃗ · r⃗}{r^{3}} p⃗ = q · d⃗

Teorema de Gauss:

∫_{S} 𝔼 · n⃗ ds = 4πQ_{interna}

Energia de um campo determinado:

ϵ = ∫_{S} 𝔼 · 𝔼 \frac{1}{8π} dv