Propriedades assintóticas de trajetórias em sistemas dinâmicos

Introdução e Objetivos

No ciclo avançado o Ricardo deve, na iniciação científica, estudar propriedades geométricas de sistemas dinâmicos, com especial atenção ao comportamento assintótico de suas trajetórias.

Espera-se que ao final do ciclo avançado o estudante tenha condições de iniciar um programa de pós-graduação nessa área com uma visão ampla das peculiaridades desse campo e tendo tomado contato com alguns problemas de pesquisa no assunto.

O Ricardo já tem participado nos últimos dois semestres de seminários, onde alguns tópicos dessa área têm sido apresentados. Neles foram estudados parte do texto de [Devaney] e de [Bhatia e Szegö].

Dessa maneira, o estudante tomou contato com problemas e resultados de Sistemas Dinâmicos e foi levado a conhecer o texto [Moreira].

Descrição

A iniciação científica do Ricardo procurará continuar estes estudos e deverá se concentrar em um dos seguintes pontos:

  1. Métodos para determinar o comportamento assintótico de trajetórias de sistemas dinâmicos sempre foi um assunto relevante nessa área, tendo se destacado em trabalhos recentes no estudo de estabilidade de pontos de equilíbrio de sistemas Hamiltonianos, por exemplo, os trabalhos de Maffei, Moauro e Negrine (ver [Maffei et al.]) provam, sob certas condições, a instabilidade de um ponto de equilíbrio, mostrando que existe uma trajetória assintótica para esse ponto de equilíbrio. Em um trabalho recente, Fábio Armando Tal e o orientador deste projeto generalizaram, para sistemas com dois graus de liberdade (ver [Garcia e Tal]), o resultado de [Maffei et al.] através do uso de funções auxiliares. O Ricardo deverá estudar esses trabalhos, compreendendo as técnicas e os conceitos ali empregados e adquirindo, dessa maneira, desenvoltura no assunto.

    Para isso, um caminho natural será combinar o estudo dos textos de [Bhatia e Szegö] e [Laloy et al.] para um aprendizado das noções básicas desse campo, passando depois à leitura dos trabalhos [Maffei et al.] e [Garcia e Tal].

  2. Outra possibilidade de desenvolvimento desta iniciação é estudar mais detalhadamente dinâmica simbólica em sistemas unidimensionais. O interesse do aluno por este assunto foi despertado pelas exposições que ele fez em seminários apresentados no IME sobre o tema, baseados em [Devaney].

    Neste campo é bastante comum recair-se na análise dos chamados Conjuntos de Cantor dinamicamente definidos (ou regulares). O estudante já tomou contato com este tema, tendo estudado os capítulos iniciais do texto [Moreira]. Uma continuação natural deste programa seria concluir o estudo desse livro, que forneceria ao Ricardo uma visão ampla dessa área.

Para este plano ser viável o Ricardo deverá adquirir uma formação sólida em equações diferenciais ordinárias e em análise real. Acreditamos que a grade de disciplinas proposta cobre amplamente esses requisitos.

Detalhamento

O desenvolvimento deste projeto será feito através de reuniões semanais com o orientador para discussão dos tópicos estudados e de seminários junto com outros colegas e docentes do IME, onde o estudante assistirá e apresentará temas ligados às suas áreas de interesse.

O grupo que participa regularmente de seminários ligados a esses assuntos conta com a colaboração dos professores doutores Paulo Silva (MAC), Cláudio Possani (MAT), Ângelo Barone Netto e Sônia Garcia, além do orientador do estudante (os últimos três docentes são do MAP).

Referências